Родился 18 августа 1912 года в деревне Рудня-Гулева Речковской волости Гомельского уезда Могилевской губернии (ныне — Ветковский район Гомельской области) в крестьянской семье. Белорус. Трудовую деятельностью начал в крестьянском хозяйстве родителей. Вскоре вся многодетная семья, в которой он был старшим ребёнком, перебралась в Свердловскую область.
С 1928 года работал на железной дороге. Начинал в качестве рабочего пути, а уже в 1936 году назначен бригадиром пути. В годы Великой Отечественной войны занимался восстановлением разрушенных железнодорожных путей.
В 1942 году, после сдачи в эксплуатацию Северо-Печерской железной дороги, Л. Д. Попков, как специалист-путеец, был направлен в Котлас в Сольвычегодскую дистанцию пути. В должности дорожного мастера работал с 1943 года.
Указом Президиума Верховного совета СССР от 4 августа 1966 года за большой вклад в развитие путевого хозяйства и передачу передового опыта по содержанию пути Попкову Лаврентию Давыдовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
С 1969 года Л. Д. Попков — на пенсии.
Жил в городе Свердловск. Скончался 8 декабря 1992 года. Похоронен на Западном кладбище Екатеринбурга.
Награды • орден Ленина • орденом Трудового Красного Знамени • дважды удостаивался звания «Почетный железнодорожник», • знак «Отличный путеец», • медаль «За трудовую доблесть».
Память • в Котласе, на здании Сольвычегодской дистанции пути установлена памятная доска., • в Екатеринбурге, на административном здании дистанции пути (ПЧ-6) установлена мемориальная доска.